وی دوران تحصیلات ابتدایی و راهنمایی را در دوران محله سپری کرد و برای ادامه تحصیلات متوسطه به دبیرستان شهید بهشتی چابکسر رفت و با گذراندن این دوران، موفق به اخذ دیپلم شد.
او برای ادامه تحصیل به مرکز تربیت معلم ورامین رفت و از سال 1361 به عنوان معلم در روستاهای اشکورات، گیری، پرندان، لرده و آسیاب دره به تعلیم و تربیت کودکان و نوجوانان روستایی پرداخت.
پس از پنج سال برای ادامه تحصیل رهسپار تهران شد و با طی مراحل تحصیلات دانشگاهی، موفق به اخذ کارشناسی ناپیوسته آموزش ابتدایی، کارشناسی ارشد فلسفه تعلیم و تربیت و دکترای تعلیم و تربیت و برنامه‌ریزی درسی از دانشگاه آزاد اسلامی واحد علوم و تحقیقات تهران گردید.
عباسی در کنار تحصیل، به تدریس در مراکز آموزشی به‌عنوان دبیر، مدیر مدارس غیرانتفاعی و مدرس مراکز تربیت معلم و ضمن خدمت و دانشگاه‌ها مشغول شد و سرانجام با انتخاب مردم رودسر و املش و حضور در دوره‌های هفتم و هشتم مجلس شورای اسلامی، نائب رئیس کمیسیون آموزش و تحقیقات، عضو ناظر شورای عالی آموزش و پرورش، رئیس فراکسیون فرهنگیان، رئیس فراکسیون گردشگری، نائب رئیس فراکسیون تعاون و نائب رئیس فراکسیون ورزش مجلس شورای اسلامی را عهده‌دار شد.
وی پست معاونت توسعه و منابع وزارت تعاون، کار و رفاه اجتماعی را عهده‌دار است.
همچنین در سوابق اجرایی عباسی، نماینده دوره هفتم و هشتم مردم رودسر در مجلس شورای اسلامی به چشم می‌خورد.
دکتر عباسی بهمن سال 1390 پس از استیضاح شیخ‌الاسلامی وزیر کار، از سوی محمود احمدی‌نژاد به عنوان سرپرست وزارت تعاون، کار و رفاه اجتماعی انتخاب شد.
سرانجام اسد الله عباسی وزیر پیشنهادی تعاون، کار و رفاه اجتماعی 15 اردیبهشت سال 1392 توانست رای اعتماد نمایندگان ملت برای تصدی وزارتخانه مذکور را کسب کند.
وی از مجموع 252 رای اخذ شده، 200 رای موافق، 40 رای مخالف و 12 رای ممتنع کسب کرد.