وی پدرش را در کودکی از دست داد و مجبور شد در آن سنین نان‌آور خانواده شود. در ابتدا با دستفروشی مشغول به کار شد و چندی بعد به تهیه چرخ زیگزاگ دوزی به خیاطی پرداخت. ملاقاسمی تولیدات خود و خواهرانش را به مغازه‌داران خیابان ناصر خسرو تهران می‌فروخت.
در 16 سالگی، یکی از دوستانش که در سبزه میدان بساط می‌کرد، دوبنده‌ای پارچه‌ای برایش خرید و او بدون کفش و با همان دوبنده تمرینات کشتی را زیر نظر آندره گوالوویچ در باشگاه نیرو و راستی آغاز کرد.
ملاقاسمی که کوتاه قد و چغر بود، نزد عبدالحسین فیلی در باشگاه پولاد؛ واقع در خیابان وحدت اسلامی تهران در وزن اول کشتی می‌گرفت.
وی در سال ۱۳۲۹ در رقابت‌های قهرمانی کشور در هر دو رشته آزاد و فرنگی به مقام قهرمانی رسید. در فینال آزاد مقابل مهدی یعقوبی از قزوین و در فینال فرنگی مقابل داود مستمع از تبریز برنده شد.
وی پس از مصدومیت و کناره‌گیری منصور رییسی در وزن نخست، در ترکیب تیم ملی کشتی آزاد قرار گرفت و در رقابت‌های جهانی ۱۹۵۱ هلسینکی پس از علی یوجل از ترکیه به مدال نقره دست یافت.
ملاقاسمی سال بعد در المپیک ابتدا نیرانجان داس از هندوستان را ضربه فنی کرد و سپس با فن کمر، پشت لوئیز بایس از آفریقای جنوبی را به تشک دوخت. هاینریش وبر از آلمان غربی نیز مغلوب کرد و حسن گمیچی از ترکیه را با امتیاز پشت سر گذاشت.
وی در ادامه گئورگی سایادوف از شوروی را شکست داد و برای کسب مدال طلا فقط یوشی کیتانو از ژاپن را پیش رو داشت. کیتانو به حسن گمیچی (مغلوب ملاقاسمی) باخته بود. یک مساوی برای قهرمانی ملاقاسمی کفایت می‌کرد. ملاقاسمی و کیتانو در چهارمین روز مسابقات به مصاف هم رفتند.
رقیب ژاپنی با برتری محسوسی بی آن که امتیاز از دست دهد، ملاقاسمی را شکست داد تا پل قهرمانی حسن گمیچی شود. کیتانو دوم شد و ملاقاسمی روی سکوی سوم ایستاد.
وی در رقابت‌های جهانی ۱۹۵۴ توکیو به مقامی دست نیافت. از طرفی با چهره شدن جوان سرپنجه‌ای به نام محمدعلی خجسته‌پور، ناگزیر در ۲۵ سالگی دوبنده تیم ملی را به جانشین خود واگذار کرد.
محمود ملاقاسمی در محل سابق باشگاه ایزد فردوسی که بین شاهپور و امیریه بود تمرین می‌داد. جامه سفید داوری هم پوشید و از بازی‌های آسیایی ۱۹۶۶ بانکوک تا نیمه دوم دهه ۸۰ میلادی قضاوت کرد.
در سال ۱۹۶۶، یک سال قبل از مرگ مرحوم تختی، در نیویورک با هم بودند و برای مداوای مصدومیت به بیمارستانی که نزدیک سازمان ملل بود رفتند.
ملاقاسمی دو سال سرمربی تیم ملی کشتی آزاد پیشکسوتان بود و در چند رقابت بین‌المللی نیز به عنوان سرپرست، کنار تیم‌های اعزامی بود.
از راست: محمود ملاقاسمی، حسن سحر خیز (داور)، شادروان پهلوان احمد وفادار و حسین زاکانی (داور)
نشسته: عبدالله عزیزی، همای محبی و رضا حلمی
وی قبل از آن که مدال المپیک بگیرد با دختر دایی‌اش ازدواج کرد و حاصل آن چهار فرزند است. دخترش منصوره در ناسا فعالیت دارد و پسرش حمید هم در واشنگتن طبابت می‌کند.