سالنکو از سال 1986 تا 1988 برای باشگاه زنیت لنینگراد بازی می‌کرد. او اولین فوتبالیست شوروی بود که برای نقل و انتقال در داخل کشور از تیمش به تیم دینامو کی‌یف مبلغ 36000 روبل دریافت کرد که در آن زمان تقریبا معادل 55000 دلار بود.
وی در سال 1992 به خارج از روسیه رفت و در تیم‌های مختلفی از جمله والنسیا از اسپانیا، گلاسکو رنجرز اسکاتلند و استانبول اسپور ترکیه بازی کرد.
سالنکو در جام جهانی 1994 آمریکا شاهکار آفرید. او در آخرین دیدار از مرحله گروهی، در بازی مقابل کامرون که به پیروزی 6 بر 1 روسیه انجامید، پنج گل تیمش را به ثمر رساند و بدین ترتیب به همراه هریستو استویچکوف بلغاری، عنوان آقای گلی جام جهانی را از آن خود کرد، گرچه روسیه با وجود این پیروزی پرگل، از مرحله مقدماتی فراتر نرفته و از دور مسابقات حذف شد.
سالنکو با این پنج گل که در یک بازی وارد دروازه حریف کرد، رکوردی از این بابت در تاریخ جام‌های جهانی از خود به جای گذاشت. او در سال 2000 به دلیل آسیب‌دیدگی‌های متعدد، مجبور شد در سن 31 سالگی از دنیای فوتبال خداحافظی کند و به همین علت تنها 9 بازی ملی در کارنامه‌اش دارد.
سالنکو پس از کناره‌گیری از بازی، مدرک مربیگری گرفت و به علاوه مدتی طولانی نیز سرمربی تیم ملی فوتبال ساحلی اوکراین بود.